1. Định nghĩa hypebol
SO SÁNH
Cho hai điểm F1, F2 cố định có khoảng cách F1F2= 2c (c > 0) Hyperbola (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M có
trong đó a là số dương nhỏ hơn c(h. 87).
Hai điểm F1 và F2 được gọi là các điểm chính của hypebol. Khoảng cách F1F2 = 2c được gọi là khoảng âm của hypebol.
Có thể vẽ một đường hypebol như sau (h. 88): Lấy đoạn thẳng AB và sợi dây không co dãn có chiều dài l nhỏ hơn chiều dài AB của thước và l > AB-F1F2. Đóng hai chiếc đinh vào mặt bảng tại F1, F2. Nối một đầu dây vào điểm A và đầu còn lại vào F2. Đặt thước sao cho dây luôn căng và xoay thước quanh F1, mép thước luôn sát vào gỗ. Tiếp theo, đầu bút chì C sẽ vẽ cao su. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng đường cong là một phần của hyperbola. Vâng chúng tôi đã làm
CF1–CF2= (CF1+CA) – (CF2+CA)–AB – l không đổi.
2. Phương trình chính tắc của hypebol
Cho hyperbola (H) như mô tả ở trên. Ta chọn trục Oxy có gốc tọa độ là tâm đoạn thẳng F1F2, trục Oy là tia phân giác của F1F2 và F2 nằm trên tiaOx.
Khi đó F1= (–c ; 0), F2= (c ; 0) (h. 89).
1. Giả sử điểm M(x;y) nằm trên hypebol (H). Hãy đọc những từ
và sử dụng giả thuyết
nhận thức
Các đoạn thẳng MF1, MF2 gọi là bán kính đi qua điểm M.
Bây giờ chúng ta sẽ lập phương trình của hyperbola (H) đối với hệ đã chọn.
Chúng ta có
Đơn giản hóa ở trên chúng tôi nhận được
Lưu ý rằng a2-c2 0) và chúng tôi nhận được
Ngược lại, chứng minh được rằng: nếu một điểm M có tọa độ (x; y) thỏa mãn (1) thì
đó là lý do tại sao
ví dụ M thuộc hypebol (H).
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
3. Dạng hypebol
2. Từ phương trình chính thức (1) của hypebol, hãy giải thích tại sao nó có các tính chất sau
a) Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của hypebol.Ox,Oy là hai trục song song của hypebol.
b) Đường hypebol đi qua trụcOx tại hai điểm và không đi qua trụcOy.
Hơn nữa, đối với hyperbola có phương trình chính tắc (1), ta cũng có định lý sau.
Cạnh huyền (có hai điểm) được gọi là trục thực và oy Oy được gọi là trục ảo của hypebol. Hai đường thẳng của hypebol và trục Ox gọi là hai đỉnh của hypebol. Đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol còn được gọi là trục thực. Khoảng cách 2 giữa hai đỉnh được gọi là độ dài thực của trục và 2b được gọi là độ dài của trục ảo.
– Một hypebol gồm hai phần nằm về hai phía của điểm ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol.
– Ta cũng gọi, như trong trường hợp hình elip, tỷ số giữa độ dài của độ dài trục thực với độ dài của hypebol, ký hiệu là e, tức là
. Lưu ý rằng chúng ta luôn có e > 1.
Một ví dụ. Cho một hyperbola(H) :
Xác định hoành độ đỉnh, hoành độ và tính hoành độ, độ dài thực của trục, độ dài gần đúng của (H).
Lời giải.Hypebol (H) có a2= 9,b2= 4 nên a= 3,b= 2,c2=a2+b2= 13,
. Do đó Hyperbola (H) có tiêu điểm (-
đỉnhA1(–3 ; 0), A2(3; 0); suy nghĩ sai lầm
; chiều dài thước 2a= 6; chiều dài trục 2b=4.
– Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a, y = ±b được gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol theo phương trình (1) (h. 90). Hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol. Phương trình của hai tiệm cận là
3. Về hypebol (H):
. Lấy điểm M(x0;y0) trên (H) với x0 > 0,y0 > 0. Chứng tỏ khoảng cách từ M đến các tiệm cận
tương tự
.
Nhận xét gì về khoảng cách đó khi x0 đang tăng?
Do đó, khi điểm M trên hypebol càng xa gốc tọa độ thì khoảng cách từ điểm đó đến một trong hai dấu hiệu càng nhỏ, nghĩa là điểm M càng tiến gần đến tiệm cận (điều này giải thích nghĩa của từ tiệm cận “tiệm cận”).
Xem thêm: Đồng bằng sông Hồng SGK Địa lý 9 Trang 75, Vở bài tập Địa lý 9
Hai đường tròn không đều (O;R) và (O’;R’) có cùng điểm M nên hiển nhiên |MO – MO’|=|r- R’|, do đó giữ nguyên O, O’ và R, R’ đó |R – R’| = 2a không đổi (a > 0) thì giao điểm M nằm trên hypebol với các điểm O và O’.
