Ở các lớp trước, các em đã được làm quen với khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian. Trong chương trình toán 12 phép tính có toạ độ, việc tính toán khoảng cách được cho là dễ dàng đối với hầu hết trẻ em, nhưng đừng để bị đánh lừa bởi điều đó.
Bạn xem: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thứ 12
Trong bài tiếp theo, chúng ta sẽ xem cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz. Đồng thời, từ đó loại bỏ các sự kiện để dễ dàng ghi nhớ quá trình.
I. Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz
– Trong mặt phẳng Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M(xM, yM, zM) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:
II. Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng tọa độ trong không gian Oxyz
* Bài 1 (Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12): Tính khoảng cách lần lượt từ điểm A(2; 4; -3) đến các mặt phẳng sau:
a) 2x–y + 2z–9 = 0 (α)
b) 12x – 5z + 5 = 0 (β)
c) = 0 (;)
* Trả lời:
a) Ta có: Khoảng cách từ điểm A đến mp(α) là:
b) Ta có: Khoảng cách từ điểm A đến mp(β) là:
c) Ta có: khoảng cách từ điểm A đến mp(γ) là:
* Bài 2: Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 2z – 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến đáy (P).
* Trả lời:
– Chúng ta có:
– Điểm tương đồng:
* Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau:
(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.
(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.
* Trả lời:
– Ta lấy điểm M(0,0;-1) nằm trong mặt phẳng (P), kí hiệu d là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có:
đ=3.
* Bài 4: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.
* Trả lời:
– Xét điểm M(0,0;z) ∈ Oz, ta có:
– Điểm M song song từ điểm A với mặt phẳng (P) là:
Vậy thực tế là M(0,0,3) cần tìm.
* Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình là (P1): Ax + By + Cz + D = 0 và (P2): Ax + By + Cz + D” = 0 và D ≠ D” .
a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2).
b) Viết phương trình mặt phẳng song song kẻ từ hai mặt phẳng (P1) và (P2).
* Áp dụng vào tình huống thực tế với (P1) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P2) : 2x + 4y + 4z + 1 = 0 .
* Trả lời:
a) Ta thấy (P1) và (P2) bằng nhau, lấy các điểm M(x0; y0; z0) ∈ (P1), ta có:
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (Ax0 + By0 + Cz0) = -D (1)
– Khi đó, khoảng cách giữa (P1) và (P2) chính là khoảng cách từ M đến (P2):
(theo (1))
b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)
– Để (P) bàng tiếp hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì khoảng cách từ M1(x1; y1; z1) ∈ (P1) đến (P) bằng khoảng cách từ M2(x2; y2; z2) ∈ (P2) thành (P) nên ta có:
(3)
mà (Ax1 + By1 + Cz1) = -D ; (Ax2 + By2 + Cz2) = -D” nên ta có:
(3)
Vì E≠D:
Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P): Ax + By + Cz + (D+D”) = 0
* Áp dụng cho một số trường hợp và (P1): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.
a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2):
– mp(P2) được viết lại: x + 2y + 2z + = 0
b) Ta có thể sử dụng một trong 3 phương pháp sau:
– Cách 1: Sử dụng cách sau, chúng ta có ngay phương trình mp(P) là:
– Cách 2: (Dùng phương pháp quỹ tích): Cho (P) là mặt phẳng cho sẵn điểm M(x; y; z) ∈ (P) trong đó:
– Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:
(P) : x + 2y + 2z + D = 0 .
Xem thêm: Cách Đổi Hình Nền Google Trên Desktop, 4 Cách Đổi Hình Nền Google Từ Desktop
+ Nhận điểm
∈ (P1) là
∈ (P2), tìm đoạn thẳng AB có tâm là
+ Mặt phẳng (P) song song với (P1) và (P2) thì (P) phải đi qua M nên ta có:
* Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;4;-6) và mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình thiết diện (S) và tâm I và tiếp tuyến lên máy bay. (Một).
* Trả lời:
– Phương trình mặt cầu tâm I(xi; yi; zi) bán kính R có dạng:
(x – xi)2 + (y – yi)2++ (z – zi)2 = R2
– Do đó theo bài toán I(1;4;-6) pt mặt cầu (S) có dạng:
(x – 1)2 + (y – 4)2 + (z + 6)2 = R2
– Vì mặt cắt (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên khoảng cách từ tâm của mặt cắt đến mặt phẳng phải bằng R nên có:
