Phần 1 Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) trình bày nội dung chương I – Tập hợp-Quan hệ-Ánh xạ. Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập hợp và các phép toán trên tập hợp, các quan hệ cơ bản trên tập hợp, các khái niệm liên quan đến ánh xạ. Bên cạnh đó, chương này còn đưa ra một số tính chất quan trọng của các khái niệm trên.
Bạn đang xem: Giải bài tập toán cơ sở
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ThS Phạm Thị Hải Châu GIÁO TRÌNH TOÁN CƠ SỞ(Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) Vinh 2011 1 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn giáo trình này được biên soạn theo chương trình đào tạogiáo viên mầm non có trình độ đại học (hệ đào tạo từ xa) của khoa Giáodục, trường Đại học Vinh. Giáo trình cung cấp một số kiến thức cơ bảncủa toán học, được dùng như một tài liệu tham khảo cho người dạy vàngười học. Nội dung giáo trình gồm có ba chương. Chương I: Tập hợp – Quan hệ – Ánh xạ. Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập hợp và cácphép toán trên tập hợp, các quan hệ cơ bản trên tập hợp, các khái niệmliên quan đến ánh xạ. Bên cạnh đó, chương này còn đưa ra một số tínhchất quan trọng của các khái niệm trên. Chương II: Số tự nhiên. Chương này đưa ra các khái niệm và các tính chất liên quan đến sốtự nhiên như: bản số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên, … Saukhi đưa ra các khái niệm đó, chương này còn giới thiệu về quan hệ thứ tựvà các phép toán trên tập hợp số tự nhiên. Chương III: Các hình hình học. Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về hình hình học, cáchình hình học trong mặt phẳng và trong không gian cùng một số tínhchất cơ bản của chúng. Bên cạnh việc trình bày lý thuyết, giáo trình có đưa ra các ví dụminh họa và bài tập nhằm củng cố và khắc sâu nội dung lý thuyết. Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã giúp đỡ và gópý để tác giả hoàn thành cuốn giáo trình này. Giáo trình có thể còn có những thiếu sót. Tác giả rất mong nhậnđược sự chỉ dẫn và góp ý của bạn đọc. Tác giả 2 Chương I : TẬP HỢP – QUAN HỆ – ÁNH XẠ A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1.1. Khái niệm tập hợp. Tập hợp là một thuật ngữ được dùng rộng rãi trong toán học.Chúng ta thường nói về tập hợp số tự nhiên, tập hợp điểm trên một mặtphẳng, tập hợp nghiệm của một phương trình, tập hợp các học sinh trongmột lớp, tập hợp các đồ chơi trong một lớp mẫu giáo, … Tập hợp (thường nói gọn là tập) là một khái niệm cơ bản của toánhọc, nó được dùng làm cơ sở để định nghĩa nhiều khái niệm khác nhưngbản thân nó không được định nghĩa qua những khái niệm đơn giản hơn. Ta hiểu tập hợp được tạo thành bởi các cá thể (các đối tượng),các cá thể tạo thành tập hợp gọi là các phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập hợp nghiệm của phương trình (x-1) (x-4) = 0 là tậphợp tạo thành bởi hai phần tử 1 và 4; tập hợp các số tự nhiên có một chữsố là tập hợp tạo thành bởi mười phần tử 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Một tập hợp thường được ký hiệu bởi chữ cái in hoa : A, B, C, X,Y, …; mỗi phần tử của một tập hợp thường được ký hiệu bởi chữ cáithường: a, b, c, x, y, … Để chỉ a là một phần tử của tập A ta viết a A (đọc a thuộc A),nếu a không là phần tử của tập A ta viết a A (đọca không thuộc A). Ví dụ: 1) Ở chương trình toán phổ thông ta đã biết: N là tập hợp các số tự nhiên, Z là tập hợp các số nguyên, Q là tập hợp các số hữu tỉ, R là tập hợp các số thực. Thế thì: 5N; 5Z; 5Q; 5R; -3N; -3Z; -3Q; -3R; 2,5N; 2,5Z; 2,5Q; 2,5R; 2 N; 2 Z; 2 Q; 2 R. 3 2) Nếu A là tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ thì 3A, 4A. 1.2. Sự xác định một tập hợp. Một tập hợp được coi là đã xác định nếu ta biết được một phần tửnào đó có thuộc tập hợp đó hay không. Để xác định một tập hợp tathường dùng hai phương pháp sau: a) Phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp. Ta liệt kê đầy đủ tất cả các phần tử của tập hợp, những tập hợpnày thường có không nhiều phần tử. Khi đó các phần tử được viếttrong {}, phần tử này cách phần tử kia bởi dấu phẩy. Ví dụ: Nếu A là tập hợp các ước số dương của 4 thì ta viết A = {1, 2, 4}. Tuy nhiên, có những tập hợp có vô số phần tử và ta chỉ liệt kê mộtsố phần tử đại diện đủ để nhận biết được một phần tử nào đó có thuộctập hợp hay không. Ví dụ: Nếu B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 thì B = {0, 3, 6, 9, …}. b) Phương pháp chỉ rõ tính chất đặc trưng. Chỉ ra các thuộc tính của các phần tử mà dựa vào các thuộc tính ấyta có thể nhận biết được một đối tượng nào đó có thuộc tâp hợp haykhông (các thuộc tính này gọi là các tính chất đặc trưng) Nếu A là tập hợp tất cả các phần tử x có tính chất đặc trưng P thìta viết A ={x x có tính chất P} hay A ={x P(x)}. Ví dụ: 1)Nếu A là tập hợp các số nguyên chẵn thì ta viết A = {nZn chẵn}. 2) Nếu B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng củahai chữ số là 10 thì B = {xNx có hai chữ số, tổng hai chữ số là 10},nhờ các tính chất đặc trưng này, ta có thể biết được một phần tử nào đấycó thuộc B hay không, chẳng hạn 37 B còn 52 B. 1.3. Tập rỗng, tập đơn tử. a) Tập rỗng. Ta gọi tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào,ký hiệu là . Ví dụ: Tập hợp các nghiệm dương của phương trình x + 3 = 0 làtập rỗng. 4 b) Tập đơn tử. Tập hợp có một phần tử gọi là tập đơn tử, tập đơntử chỉ có phần tử a ta viết là {a}. Ví dụ: Tập hợp các nghiệm (thực) của phương trình x + 3 = 0, tậphợp các đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, … là các tập đơn tử . 1.4. Minh hoạ tập hợp bằng hình vẽ. Một tập hợp thường được minh hoạ bởi mộtđường cong khép kín. Mỗi phần tử thuộc tập hợpđược biểu diễn bởi một dấu gạch chéo ở bên trong x bxđường cong, phần tử không thuộc tập hợp được abiểu thị bởi dấu gạch chéo ở bên ngoài đườngcong. A xc Trên hình bên, ta có : a, b A; c A. BÀI TẬP 1. Hãy liệt kê phần tử của các tập hợp sau: a) A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơnvị là 4. b) B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữsố đó là 12. 2. a)Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợpsau: A = {3, 6, 9, 12, 15}, B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, C = {1, 4, 9, 16, 25}. b) Hãy thêm vào mỗi tập hợp trên một phần tử nữa mà không làmthay đổi tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. 3. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A gồm các chữ số x sao chosố tự nhiên 17 x 4 chia hết cho 3. §2. QUAN HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP 2.1. Quan hệ bao hàm – Tập con. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói A là tập con (hay bộphận) của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B, ký hiệu là A B. 5 Khi A B ta nói A bao hàm trong B (hay A con B) hoặc B baohàm A (hay B chứa A). Quan hệ A B gọi là quan hệ bao hàm. Ví dụ: 1) Nếu A là tập hợp các học sinh nữ trong một lớp và B là tập hợpcác học sinh trong lớp đó thì A B. 2) Giả sử C là tập hợp các nghiệm của phương trình x – 1 = 0 và Dlà tập hợp các nghiệm của phương trình x2 – 5x + 4 = 0, ta có C D. 3) Gọi T là tập hợp các tứ giác và V là tập hợp các hình vuôngtrong mặt phẳng, thế thì V T. Chú ý: – Không phải giữa hai tập con nào cũng có quan hệ bao hàm,chẳng hạn giữa hai tập hợp A = {a, b, c, d} và B = {a, b, e, f, g} khôngcó quan hệ bao hàm. – Ta quy ước là tập con của mọi tập hợp. 2.2. Hai tập hợp bằng nhau. Định nghĩa. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu A B và B A, ký hiệu là A = B. Nói cách khác, hai tập hợp A và B là bằng nhau nếu mỗi phần tửcủa A là phần tử của B và ngược lại. Như vậy, để chứng minh A = B ta phải chứng minh: nếu x A thìxB và nếu x B thì x A. Ví dụ: 1) Nếu A là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 – 3x + 2 = 0và B={1, 2} thì A = B. 2) Cho A = {n N n 6} và B = { n N n 2 và n 3}. Ta thấy: – Nếu n A tức là n 6 mà 2 và 3 là ước của 6, vậy n 2 và n 3.Điều đó có nghĩa là n B. – Nếu n B, tức là n 2 và n 3. Ta thấy 2 và 3 nguyên tố cùngnhau nên n chia hết cho tích của chúng, nghĩa là n 6, hay n A. Theo định nghĩa thì A = B. 2.3. Một số tính chất của quan hệ bao hàm. Định lý. Quan hệ bao hàm có các tính chất sau: a) Với mọi tập A ta có A A (tính chất phản xạ), 6 b) Nếu A B và B A thì A = B (tính chất phản xứng), c) Nếu A B và B C thì A C (tính chất bắc cầu). Chứng minh. Tính chất a) suy trực tiếp từ định nghĩa tập con. Tính chất b) có từ định nghĩa hai tập hợp bằng nhau. Bây giờ ta chứng minh tính chất c). Giả sử x là một phần tử tùy ý thuộc A. Vì A B nên x B, mặtkhác B C nên ta lại có được x C. Vậy với mọi x A ta đều suy ra được x C, tức là A C. Tính chất a) chứng tỏ một tập hợp là tập con của chính nó. Như vậy mỗi tập hợp khác luôn có ít nhất hai tập con là vàchính nó, hai tập con này gọi là các tập con tầm thường, các tập conkhông tầm thường gọi là tập con thực sự. 2.4. Tập hợp các tập con của một tâp hợp. Cho tập hợp A. Ký hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của A,nghĩa là P(A) = {X X A} Ví dụ: 1) Nếu A là tập hợp các học sinh của một lớp thì P(A) = {X X làtập hợp một nhóm học sinh bất kỳ trong lớp}. 2) Cho B = {1,2} thì P(B) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. BÀI TẬP 1. Viết tất cả các tập con của mỗi tập hợp sau đây: a) A = {a}. b) B = {1, 2, 3}. 2. Hãy xét quan hệ giữa các tập hợp A, B dưới đây: a) A = {n Nn + 10 15}, B = {n Nn2 9}. b) A là tập hợp các bội tự nhiên của 3, B là tập hợp các bội tựnhiên của 6. 3. Chứng minh đẳng thức A = B với: A là tập các hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, B là tập các hình bình hành có một góc vuông. 7 §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP 3.1. Phép hợp. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của A và B là tập hợptất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập đó,ký hiệu là A B. Ta có thể viết: A B = {x x A hoặc x B}hay x A B x A hoặc x B. Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A BB. A Ví dụ: 1) Nếu A = {a, b, c, d} và B = {a, b, e} thì A B = {a, b, c, d, e}. 2) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên lẻ, B là tập hợp các số tự nhiênchẵn, khi đó A B = N. 3) Nếu A tập hợp các nghiệm của phương trình x2- 4 = 0 và B làtập hợp các nghiệm của phương trình x2- 5x + 4 = 0 thì A B = {-2, 1,2, 4}. Chú ý: Theo định nghĩa, x A B x A hoặc x B. Do đóxAB khi và chỉ khi x không thuộc tập nào trong số hai tập A và B,tức là x A B x A và x B. 3.2. Phép giao. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Giaocủa A và B là tập hợp tất cả các phần tử đồngthời thuộc cả A và B, ký hiệu làA B. Ta có thể viết: B A B = {x x A và x B}hay x A B x A và x B. A Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A B. Ví dụ: 8 1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B là tập hợp các số tự nhiên lẻ, khiđó AB = {1, 3, 5} 2) Gọi A là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = 0 và B làtập hợp các nghiệm của phương trình g(x) = 0 thì A B là tập hợp cácnghiệm của hệ phương f( x) trình 0 g( x) 0 3) Nếu A là tập hợp các bội tự nhiên của 2 và B là tập hợp các bộitự nhiên của 3 thì A B là tập hợp các bội chung tự nhiên của 2 và 3,tức là các bội chung tự nhiên của 6. Chú ý: – Nếu A và B không có phần tử chung (phần tử vừa thuộc cả A vàB), tức là A B = , thì ta nói A và B rời nhau. – Theo định nghĩa, x A B x A và x B. Do đó x A B khi và chỉ khi x không thuộc đồng thời cả A và B, nghĩa là x khôngthuộc ít nhất một trong hai tập A và B, hay x A hoặc x B. Như vậy x A B x A hoặc x B. 3.3. Một số tính chất của phép hợp, phép giao. Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta luôn có: 1) Tính giao hoán: A B = B A (của phép hợp), A B = B A (của phép giao). 2) Tính kết hợp: ( A B ) C = A ( B C ) (của phép hợp), ( A B ) C = A ( B C ) (của phép giao). Các tính chất trên có thể chứng minh được đễ dàng bằng cách sửdụng trực tiếp các định nghĩa phép hợp, phép giao và sự bằng nhau củacác tập hợp. Chú ý: – Từ tính chất kết hợp của phép hợp và phép giao ta có thể dùngký hiệu A B C (gọi là hợp của ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A B) C hoặc A ( B C ), dùng ký hiệu A B C (gọi là giao của batập hợp A, B, C) thay cho ( A B ) C hoặc A ( B C ). – Tương tự, ta có thể mở rộng các tính chất trên cho hợp và giaocủa nhiều tập hợp. 3.4. Liên hệ giữa phép hợp và phép giao. 9 Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta có: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) (1), A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) (2). Chứng minh (1). Giả sử x A ( B C ), tức là x A và x B C. Do x B C có nghĩa là x B hoặc x C nên ta có: x A và x B thì x A B, hoặc x A và x C thì x A C. Điều đó có nghĩa là x A B hoặc x A C, tức là x ( A B ) ( A C ). Ngược lại, giả sử x ( A B ) ( A C ). Theo định nghĩaphép hợp suy ra x A B hoặc x A C. Mặt khác, theo định nghĩaphép giao ta có: x A B thì x A và x B, hoặc x A C thì x A và x C. Như vậy ta có x A và x thuộc ít nhất một trong hai tập B, C, hayxA và x B C. Điều này có nghĩa là x A ( B C ). Tương tự ta chứng minh được đẳng thức (2). Công thức (1) cho thấy phép giao phân phối đối với phép hợp,công thức (2) cho thấy phép hợp phân phối đối với phép giao. 3.5. Phép trừ. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của A và B là tập hợptất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B,ký hiệu A\ B hoặc A – B. Ta có thể viết: A\ B = {x x A và x B} hay x A\ B x A và x B. BTrên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A\ B. Ví dụ: A 1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {x Nx là ước của 30} thì khi đó A\B = {4} còn B \ A = {6, 10, 15, 30}. 2) Nếu A là tập hợp các tam giác vuông, B là tập hợp các tam giáccân thì A\ B là tập hợp các tam giác vuông mà không cân, B \ A là tậphợp các tam giác cân mà không vuông. Chú ý: 10 – Nếu A và B là các tập hơp rời nhau (A B = ) thì A\ B = A và B \A = B. – Hiệu của hai tập hợp nói chung không có tính đối xứng, tức là A\B B \ A. – Trong trường hợp B A thì A\ B còn được ký hiệu là CBA vàgọi là phần bù của B trong A. Chẳng hạn, nếu xét trong tập hợp số tự nhiên N thì phần bù củatập hợp các số tự nhiên chẵn là tập hợp các số tự nhiên lẻ. – Từ định nghĩa phép trừ ta có thể viết: x A\ B x A hoặc x B. 3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao. Định lý. Với các tập hợp A, B, C tùy ý ta có: A\ ( B C ) = ( A\ B ) ( A\ C ) (1), A\ ( B C ) = ( A\ B ) ( A\ C ) (2). Chứng minh (1). Giả sử x A\ ( B C ). Điều đó có nghĩa là x A và x B C. Vì x B C nên x B và x C. Như vậy x A, x B và x C. Từ đó suy ra x A\ B và x A\C, nghĩa là x ( A\ B ) ( A\ C ). Ngược lại, giả sử x ( A\ B ) ( A\ C ). Điều đó có nghĩa là x A\ B và x A\ C. Suy ra x A, x B và x C. Tức là x A và x B C. Do đó x A\ ( B C ). Chứng minh đẳng thức (2) tương tự. BÀI TẬP 1. A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vịgấp đôi chữ số hàng chục. B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chiahết cho 8. Tìm A B, A B, A\ B, B\ A. 2. Cho A = {x 8 x 5 9}, B = {x 514 x 3}. Tìm AB. AB, A\B,B\A. 3. Trong tập hợp P các điểm của mặt phẳng, cho hai điểm A, B vàtrung điểm O của AB. Gọi X là tập hợp các điểm M sao cho MA MB; ABY là tập hợp các điểm M sao cho OM . 2 Hãy xác định các tập X Y, X Y, X\Y, Y\ X trên hình vẽ. 11 4. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Hãy minh hoạ đẳng thức saubằng hình vẽ và sau đó chứng minh: a) A\ B ) = A \ ( A B ) b) A ( B\ C ) = ( A B )\ C 5. Cho hai tập tùy ý A, B. Chứng minh rằng: a) A B = A khi và chỉ khi A B. b) A B = B khi và chỉ khi A B. 6. Thống kê tình hình tự bồi dưỡng trình độ trong 100 giáo viêncho thấy: 33 người học ngoại ngữ, 40 người học tin học, 42 người bồidưỡng chuyên môn. Trong số đó có 8 người vừa học ngoại ngữ vừa họctin học, 10 người vừa bồi dưỡng chuyên môn vừa học ngoại ngữ, 5người vừa học tin học vừa bồi dưỡng chuyên môn và 3 người bồi dưỡngcả 3 môn. Hỏi có bao nhiêu người chỉ học ngoại ngữ, chỉ học tin học, chỉ bồidưỡng chuyên môn và bao nhiêu người không bồi dưỡng môn nào? §4. QUAN HỆ 4.1. Tích Đề các của các tập hợp. a) Căp sắp thứ tự. Cho a, b là hai đối tượng bất kỳ. Từ hai đối tượng này ta thành lậpđược một đối tượng mới, ký hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b). Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b =d. Như vậy, nếu a b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp khác nhau. Điều đó nói lên rằng, trong một cặp người ta có thể xét đến thứ tựcủa các vật: (a, b) là một cặp sắp thứ tự hai phần tử a và b, a là phần tửđứng trước, b là phần tử đứng sau. b) Tích Đề các. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Tích Đề các của A và B làtập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a,b), trong đó a A và b B, ký hiệu làA B. Ta có thể viết: A B = {(a, b) a A, b B}. Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {m, n}, khi đó A B = {(a, m), (b, m), (c, m), (a, n), (b, n), (c, n)}, 12 B A = {(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c)}. Chú ý: – Tích Đề các nói chung không có tính chất giao hoán: nếu A Bthì A B B A. – Tích Đề các không có tính chất kết hợp: với ba tập hợp A, B, Ckhác rỗng ta có ( A B ) C A ( B C ). – Trong trường hợp A = B thì A A còn được ký hiệu là A2 và gọilà bình phương Đề các của A. – Ta có thể mở rộng định nghĩa tích Đề các cho nhiều tập hợp: tíchĐề các của n tập hợp A1, A2, …,An là tập hợp tất cả các phần tử có thứ tự(a1, a2, …,an), trong đó a1 A1, a2 A2, …, an An. 4.2. Quan hệ hai ngôi. Định nghĩa. Cho A là tập hợp tùy ý khác rỗng. Mỗi tập con S củabình phương Đề các A A gọi là một quan hệ hai ngôi trên A. Nếu (a, b) S thì ta nói a có quan hệ S với b và viết aSb. Như vậy a, b A, aSb (a, b) S. Ví dụ: 1) Trên tập hợp các số nguyên Z, quan hệ “bé thua hoặc bằng” xácđịnh bởi tập con S1 = {(a, b) Z2a b}. 2) Quan hệ “chia hết cho” trong N* = N\{0} được xác định bởi tậpcon S2 = {(m, n) N*2m n}. 3) Trong tập hợp D gồm các đường thẳng của mặt phẳng, quan hệ“vuông góc với nhau” xác định bởi tập con: S3 ={(a, b) D2a b}. 4) Trong tập hợp A gồm các học sinh trong một lớp, quan hệ“cùng họ” xác định bỏi tập con S4 = {(x, y)x, y A, x, y cùng họ}. 4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi. a) Tính phản xạ. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tínhchất phản xạ nếu aA ta có aSa (a có quan hệ S với chính nó). Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 có tínhchất phản xạ; quan hệ S3 không có tính chất phản xạ. b) Tính chất đối xứng. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là cótính chất đối xứng nếu a, b A mà aSb thì luôn suy ra được bSa. 13 Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S3, S4 có tính chấtđối xứng; các quan hệ S1, S2 không có tính chất đối xứng. c) Tính chất phản đối xứng (phản xứng). Quan hệ hai ngôi S trêntập hợp A gọi là có tính chất phản đối xứng nếu a, b A mà aSb vàbSa thì luôn suy ra được a = b. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2 có tính chấtphản đối xứng; các quan hệ S3, S4 không có tính chất phản đối xứng. d) Tính chất bắc cầu. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là cótính chất bắc cầu nếu a, b, c A mà aSb và bSc thì luôn suy ra đượcaSc. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 có tínhchất bắc cầu; các quan hệ S3 không có tính chất bắc cầu. 4.4. Quan hệ tương đương. a) Định nghĩa. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là quan hệtương đương nếu nó có các tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, quan hệ S4 (quan hệ “cùng họ”)là quan hệ tương đương; các quan hệ S1, S2, S3 là không tương đương. Chú ý: – Nếu S là quan hệ tương đương ta thường thay S bởi ký hiệu (a b, đọc là “a tương đương với b”) – Do tính chất đối xứng nên nếu a b thì có thể viết b a. b) Lớp tương đương. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương .Giả sử a là một phần tử nào đó thuộc A. Ký hiệu: = {x A x a} và gọi tập hợp này là lớp tương đương của a. Từ tính chất phản xạ của quan hệ suy ra a . Ví dụ: 1) Xét quan hệ tương đương “có cùng số dư trong phép chia cho3” trên tập hợp các số tự nhiên N. Với số tự nhiên n bất kỳ thuộc N,
Xem thêm: Những Bài Toán Khó Lớp 7 Và Các Bài Toán Nâng Cao Lớp 7 Có Lời Giải
1 Giả sử A = {-1, 0, , 2} và B = {0, 1, 2}. 3 20
