Viết phương trình đường thằng trong không gian là một trong những dạng toán khá hay nhưng cũng khá khó cho nhiều bạn, đây cũng là dạng toán rất hay có trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.
Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian
Vì vậy để các bạn học sinh lớp 12 nắm rõ phần nội dung kiến thức này, trong bài viết này chúng ta cùng tổng hợp lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, giải một số ví dụ và bài tập một cách chi tiết và dễ hiểu để các em tự tin khi gặp các dạng toán này.
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
* Đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương = (a;b;c) có:
– Phương trình tham số của (d):
– Phương trình chính tắc của (d):
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian
* Cho đường thẳng d0 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương 0 = (a;b;c) và đường thẳng d1 đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và có vectơ chỉ phương 1 = (a1;b1;c1) khi đó:
– d0 và d1 cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔
– d0 và d1 cắt nhau ⇔
– d0 // d1 ⇔
– d0 Ξ d1 ⇔
– d0 và d1 chéo nhau ⇔
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
* Đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương = (a;b;c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến = (A;B;C) khi đó:
– d cắt (P) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0
– d//(P) ⇔
– d ⊂ (P) ⇔
– d ⊥ (P) ⇔ // ⇔
4. Góc giữa 2 đường thẳng
– Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương = (a;b;c) và (d”) có vectơ chỉ phương = (a”;b”;c”), gọi 00 ≤ ∝ ≤ 900 là góc giữa 2 đường thẳng đó, ta có:
cos∝ =
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
– Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương = (a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
, gọi 00 ≤ φ ≤ 900 là góc giữa đường thẳng (d) và mp (P), ta có:
sinφ =
6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
– Cho điểm M1(x1;y1;z1) tới đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương :
* Cách tính 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M1 và vuông góc với Δ.
– Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).
– d(M1,Δ) = M1H
* Cách tính 2:
– Sử dụng công thức: d(M1,Δ) =
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
– Cho đường thẳng Δ0 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương 0 = (a;b;c) và đường thẳng Δ1 đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và có vectơ chỉ phương 1 = (a1;b1;c1):
* Cách tính 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q)”>(Q) chứa (Δ) và song song với (Δ1).
– Tính khoảng cách từ M0M1 tới mặt phẳng (Q).
– d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)
* Cách tính 2:
– Sử dụng công thức: d(Δ,Δ1) =
II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian
Dạng 1: Viết PT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCP
– Điểm M0(x0;y0;z0), VTCP 0 = (a;b;c)
* Phương pháp:
– Phương trình tham số của (d) là:
– Nếu a.b.c ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là:
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;-1) và nhận vec tơ (1;2;3) làm vec tơ chỉ phương
* Lời giải:
– Phương trình tham số của (d) là:
Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
* Phương pháp
– Bước 1: Tìm VTCP
– Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận làm VTCP.
Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);
* Lời giải:
– Ta có: (-2;-1;3)
– Vậy PTĐT (d) đi qua A có VTCP là có PT tham số:
Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng Δ
* Phương pháp
– Bước 1: Tìm VTCP của Δ.
– Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận làm VTCP.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ:
* Lời giải:
– VTCP vì (d)//Δ nên nhận làm VTCP
– Phương trình tham số của (d):
Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).
* Phương pháp
– Bước 1: Tìm VTPT của mp (∝)
– Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận làm VTCP.
Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0
* Lời giải:
– Ta có VTPT của mp (P): = (1;-1;-1) là VTCP của đường thẳng (d).
– PT đường thẳng (d) qua A và nhận làm VTCP có PT tham số là:
Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).
* Phương pháp:
– Bước 1: Tìm VTCP , của (d1) và (d2).
– Bước 2: Đường thẳng (d) có VTCP là: =
– Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận làm VTCP.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1:
và d2:
* Lời giải:
– Ta có VTCP của d1 là = (-3;1;2) của d2 là = (2;5;3)
– d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên VTCP của d là: =
=
= (-7;13;-17)
– Phương trình tham số của (d) là:
Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp
– mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A”x + B”y + C”z + D” = 0;
* Phương pháp:
+ Cách giải 1:
– Bước 1: Giải hệ
ta tìm 1 nghiệm (x0;y0;z0) bằng cách cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định, rồi giải hệ tìm giá trị 2 ẩn còn lại, ta được 1 điểm M0(x0;y0;z0) ∈ (d).
– Bước 2: Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: =
– Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) qua M0 và có VTCP .
+ Cách giải 2:
– Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)
– Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.
+ Cách giải 3:
– Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.
* Lời giải:
– Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ PT:
– Cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = – 1 ⇒ A(2;-1;0)
– Cho z = 1 ⇒ x = 4 và y = – 4 ⇒ B(4;-4;1)
⇒
⇒ PTĐT (d) đi qua A(2;-1;0) và có VTCP có PTCT là:
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).
* Phương pháp
– Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P).
– Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q)
– Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
trên mp(P): x – 2y + z + 5 = 0.
* Lời giải:
– Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0
⇔ (m+3n)x – 2ny + (-2m+n)z – 3n = 0
Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) – 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0
⇔ m + 3n + 4n – 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0
Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x – 2y – 15z – 3 = 0
– Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d” là giao tuyến của P và Q, phương trình của d’ sẽ là:
Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2
* Phương pháp
+ Cách giải 1:
– Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
+ Cách giải 2:
– Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
– Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)
+ Cách giải 3:
– Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2
– Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C
– Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt cả 2 đường thẳng d1:
và d2 :
* Lời giải:
– Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)
⇒ =(t;-t-1;0) ; =(-1;-1;2+s)
A,B,C thẳng hàng ⇒ = k ⇔
giải hệ được s = -2; t= -1/2; k = 1/2;
Vậy d đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) ⇒ d có PT:
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.
* Phương pháp
– Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.
– Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1), (d2) có PT:
d1:
; d2:
* Lời giải:
– VTCP của Ox là:
= (1;0;0)
– VTCP của d1 là:
=(2;1;-1); VTCP của d2 là:
=(1;-1;2)
– PT mp (P) chứa d1 và song song Ox có VTPT:
=
=(0;1;1)
– PT mp (Q) chứa d2 và song song Ox có VTPT:
=
=(0;-2;-1)
– PT mp (P) đi qua điểm (-8;6;10) ∈ d1 và có VTPT
(0;1;1) có PT:
(y-6) + (z-10) = 0 ⇔ y + z – 16 = 0
– PT mp (Q) đi qua điểm (0;2;-4) ∈ d2 và có VTPT
(0;-2;-1) có PT:
-2(y-2) – (z+4) = 0 ⇔ 2y + z = 0
⇒ PT đường thẳng d = (P) ∩ (Q):
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
* Phương pháp
+ Cách giải 1:
– Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1.
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
+ Cách giải 2:
– Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
– Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2.
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1), cắt đường thẳng d1:
và vuông góc với đường thẳng d2: x=-2+2t; y=-5t; z=2+t;
* Lời giải:
– PT mp (P) ⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT: 2x – 5y + z + D = 0
– PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 – 5.1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 2
⇒ PT mp (P): 2x – 5y + z + 2 = 0
– Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)
⇒
= (6;2;-2) = (3;1;-1)
⇒ PTTQ của (d) là:
Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’
* Phương pháp:
+ Cách giải 1:
– Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).
– Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
+ Cách giải 2:
– Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α)
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;2;-1) cắt đường thẳng d:
và song song với mặt phẳng (∝): x + y – z + 3 = 0.
* Lời giải:
– PTTS của (d):
– Giả sử Δ cắt d tại điểm B, thì tọa độ của B(3+t;3+3t;2t) nên ta có:
– Vì AB// mp(∝) mà
nên ta có:
⇒ B(2;0;-2)
nên đường thẳng Δ có PTTQ:
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .
* Phương pháp:
– Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)
– Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
Ví dụ: Cho 2 đường thẳng:
và mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;
* Lời giải:
– PTTS d1:
PTTS d2:
– Gọi A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọa độ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)
– Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)
– Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)
⇒
⇒ PTĐT Δ qua A(1;0;2) có VTCP có PTTQ là:
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).
* Phương pháp
– Bước 1: Tìm giao điểm I = d’∩(P).
– Bước 2: Tìm VTCP của d’ và VTPT của (P) và =
– Bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và có VTCP
Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.
* Phương pháp
+ Cách giải 1:
– Bước 1: Tìm các VTCP , của d1 và d2 . Khi đó đường thẳng d có VTCP là =
– Bước 2: Viết PT mp(P) chứa d1 và có VTPT =
– Bước 3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và có VTPT =
– Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
* Cách giải 2:
– Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) ∈ d1; N(x0″+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d2 là chân các đường vuông góc chung của d1 và d2.
– Bước 2: Ta có
– Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.
– Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng chéo nhau d1:
và d2:
viết PT đường thẳng (d) vuông góc với d1 và d2
* Lời giải:
– d1 có VTCP = (2;1;3); d2 có VTCP = (1;2;3)
– Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 với A ∈ d1; B ∈ d2
⇒ A(1+2t;2+t;-3-3t) và B(2+t”;-3+2t”;1+3t”)
⇒ =(1+t”-2t;-5+2t”-t;4+3t”+3t)
Từ điều kiện
và
ta có:
⇔
⇔
⇒
⇒ PT (d) đi qua A nhận (-1;-1;1) làm VTCP có dạng:
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
* Phương pháp:
– Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
– Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).
Ví dụ: Trong không gian oxyz, cho 2 đường thẳng:
, và mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với (P) và cắt đường thẳng d1 , d2.
Xem thêm: Tuyển Tập 50 Đề Thi Học Sinh Giỏi Văn 9 Cấp Huyện Năm 2020, Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Huyện Môn Ngữ Văn Lớp 9
* Lời giải:
– PTTS của d1:
– Giả sử A,B lần lượt là giao điểm của Δ với d1 và d2 ta có: A(2s;1-s;-2+s), B(-1+2t;1+t;3)
– VTCP của Δ là:
– VTPT của (P) là:
– do Δ ⊥ (P) nên //
, tức ta có:
⇒ Phương trình đường thẳng Δ qua A(2;0;-1) có VTCP có PTTQ là:
Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
