Đa thức nhân tử là kiến thức quan trọng để học nhân chia đơn thức và đa thức, đặc biệt là học biểu thức nhỏ có chứa biến trong chương trình toán lớp 8 trở lên.
Bạn đang xem: Phương Pháp Tính Đa Thức Nhân Tử
Do đó, điều quan trọng là phải biết cách sinh đa thức bằng phương pháp phổ biến nhân tử, nhóm biểu thức hoặc phương pháp sử dụng đẳng thức. Bài viết sau đây sẽ giải thích ngắn gọn cách tạo đa thức và sử dụng chúng để giải trò chơi này.
I. Các phương pháp sinh đa thức
1. Đa thức nhân tử là một nhân tử chung
* Phương pháp:
– Tìm nhân tử chung với đơn thức, đa thức có trong mọi biểu thức.
– Phân tích mỗi khi các mặt hàng có liên quan đến mặt hàng khác.
– Viết các hạng tử đã biết ngoài ngoặc, viết phần dư của mỗi số hạng trong ngoặc (và kí hiệu của chúng).
* Ví dụ. Tính các đa thức sau.
a) 15×3 – 5×2 + 10x = 5x.(3×2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3×2 – x + 2)
b) 28x2y2 – 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy – 3y + 2x)
2. Đa thức nhân tử là phương pháp dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp:
– Biến đổi đa thức bậc nhất thành mẫu số chung chính tắc, sau đó dùng phương trình chính tắc để tìm nhân tử chung.
– Cần chú ý vận dụng linh hoạt các biến đáng nhớ giống nhau:
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A–B)2= A2– 2AB+ B2
♦ A2–B2= (AB)(A+B)
(A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3
(A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3
♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)
♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)
♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC
* Lưu ý: a+b= -(-ab); (a+b)2= (-ab)2 ; (ab)2= (ba)2; (a+b)3= -(-ab)3 ; (ab)3=-(-a+b)3
* Ví dụ: Tính các đa thức sau.
a) 9×2 – 4 = (3x)2 – 22 = (3x–2)(3x + 2)
b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2 + 9x2y4)
c) 25×4 – 10x2y + y2 = (5×2 – y)2
3. Cách giải đa thức bằng cách nhóm nhiều hạng tử
* Phương pháp:
– Xếp các từ thích hợp vào các nhóm.
– Luôn sử dụng các phương pháp giống nhau hoặc sử dụng các phương pháp giống nhau.
* Ví dụ: Tính các đa thức sau
a) 2×3 – 3×2 + 2x – 3 = (2×3 + 2x) – (3×2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = (x2 + 1)( 2x – 3)
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 – 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Cách cộng trừ các số hạng đơn hay chia các số hạng thành đa thức
* Phương pháp:
– Sử dụng phép cộng và phép trừ để trở về một nhóm các từ giống nhau hoặc sử dụng các từ tương tự
* Ví dụ: Tính các đa thức sau
a) x4 + 4 = x4 + (4×2 – 4×2) + 4 = x4 + 4×2 + 4 – 4×2 = (x2+2)2 – 4×2
= (x2+2-2x)(x2+2+2x)
b) x4 + 1 = x4 + 2×2 – 2×2 + 1 = x4 + 2×2 + 1 – 2×2 = (x2+1)2 – 2×2 = (x2+1)2 – (x√2)2
= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)
c) 3×2 + 8x + 4 = 3×2 + 8x + 16 – 12 = (3×2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 – 4) + 8(x+2)
=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2) =(x + 2)(3x + 2)
hoặc: 3×2 + 8x + 4 = 4×2 – x2 + 8x + 4 = (4×2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
5. Kết hợp nhiều cách để tạo đa thức
* Phương pháp: Sử dụng nó các phương pháp trên về mức độ ưu tiên.
– Các phương pháp bao thanh toán phổ biến.
– Cách sử dụng các biến tương tự.
– Một cách tạo thêm nhóm.
* Ví dụ: Kiểm tra đa thức sau
a) 3xy2 – 6xy + 3x
= 3x(y2 – 2y + 1) (nhân tử chung)
= 3x(y – 1)2 (sử dụng phương trình thông thường (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A và y B là 1)
b) 2×2 + 4x + 2 – 2y2
= 2((x2 + 2x +1) – y2) (nhân tử chung)
= 2((x+1)2 – y2) (sử dụng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) ở bước A và x; B là 1)
= 2(x+1-y)(x+1+y) (luôn sử dụng phương trình: A2–B2= (AB)(A+B) trong bước này A là x+1 và B là y)
II. Vận dụng giải một số dạng bài tập nhân đa thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 SGK toán 8 tập 1: Sinh đa thức
a) 3x-6y;
b)
;
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
đ)
;
e) 10x(x – y) – 8y(y – x).
* Lời giải bài 39 trang 19 toán 8 tập 1:
a) 3x – 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
đ)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x)
– Ta thấy: y – x = -(x – y) nên ta có:
10x(x – y) – 8y(y – x) =10x(x – y) – 8y =10x(x – y) + 8y(x -y) =2(xy)(5x+4y)
Bài 40 19 trang Toán 8 tập 1: Tính giá trị của từ
a) 15.91.5 + 150.0.85;
b) x(x – 1) – y(1 – x) với x = 2001 và y = 1999.
* Đáp án bài 40 trang 19 toán 8 tập 1:
– Ghi chú: Với dạng bài tập này, chúng ta phải phân tích từ để cho nó giống đồ vật chung rồi tính giá trị rồi mới tính giá trị của nó.
a) 15.91.5 + 150.0.85 =15.91.5 + 15.10.0.85 =15(91.5 + 10.0.85) =15(91.5 + 8.5) =15.100 =1500.
b) x(x – 1) – y(1 – x)
– Ta thấy: 1 – x = -(x – 1) nên ta có:
x(x – 1) – y(1 – x) =x(x-1)-y =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
– Thay x = 2001 và y = 1999, ta được: (2001-1) (2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, xác định:
a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* Giải bài 41 trang 19 toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
(x – 2000).(5x – 1) = 0
⇔
⇔
– Kết thúc có 2 giá trị thỏa mãn của x là x = 2000 và x = 1/5.
b) x3 = 13x x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
⇔
⇔
– Kết luận: Có ba giá trị thỏa mãn của x là x = 0, x = √13 và x = -√13.
Bài 42 trang 19 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).
* Trả lời bài 42 trang 19 SGK toán 1:
– Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54
– Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.
Khi đó 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.
Bài 43 trang 20 SGK toán 8 tập 1: Cho các đa thức này:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x-25-x2
c); đ)
* Đáp án bài 43 trang 20 toán 8 phần 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 – 10x + 25)
= – = –(x–5)2
c)
đ)
Bài 44 trang 20 SGK Toán 8 tập 1: Cho các đa thức này:
Một); b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3;
d) 8×3 + 12x2y + 6xy2 + y3
đ) – x3 + 9×2 – 27x + 27.
* Giải bài 44 trang 20 toán 8 phần 1:
Một)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= .
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= .
= .
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8×3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9×2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 20 trang Toán 8 tập 1: Tìm x, xác định:
a) 2-25×2=0
b)
* Đáp án bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a) 2-25×2=0
– Kết luận: khi đó có hai nghiệm thỏa mãn là x = -√2/5 và x= √2/5.
b)
– Kết luận: vậy tồn tại nghiệm hữu hiệu là x=1/2.
Bài 46 trang 21 SGK toán 8 tập 1: tính toán nhanh
a) 732-272; b) 372 – 132; c) 20022-22
* Giải bài 46 trang 21 toán lớp 8 phần 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27) (73 – 27) = 100,46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13) (37 – 13) = 50,24 = 100,12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2) (2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 SGK toán 8: Tính các đa thức sau
a) x2 – xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3×2–3xy–5x + 5y
* Lời giải bài 47 trang 22 sgk toán lớp 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm hai chữ số 1 và số 2, số 3 và số 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y) (x + 1)
+) Cách 2: Nhóm 1 và 3 từ; 2 và 4 từ
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3×2–3xy–5x + 5y
+) Cách 1: Nối hai từ đầu tiên với nhau và hai từ cuối cùng với nhau:
3×2 – 3xy – 5x + 5y = (3×2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y) (3x – 5)
+) Cách 2: Tổ 1 là tiết 3; Phần 2 và 4:
3×2 – 3xy – 5x + 5y = (3×2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).
Bài 48 trang 22 SGK Toán 8 tập 1: Tính các đa thức sau
a) x2 + 4x –y2 + 4
b) 3×2 + 6xy + 3y2 – 3z2
c) x2–2xy + y2–z2 + 2zt–t2
* Đáp án bài 48 trang 22 SGK toán phần 1:
a) x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3×2 + 6xy + 3y2 – 3z2
= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)
= 3 tại
= 3 tại
= 3(x + y – z)(x + y + z)
c) x2–2xy + y2–z2 + 2zt–t2
= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2)
= (x – y)2 – (z – t)2
=
= (x – y – z + t) (x – y + z –t)
Bài 50 trang 23 sách toán tập 1: Tìm x, xác định:
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
* Đáp án bài 50 trang 23 SGK toán 8 tập 1:
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
⇔ (x – 2)(x + 1) = 0
⇔
– Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
(x – 3) (5x – 1) = 0
⇔
– Kết luận: vậy x = 3 hay x = 1/5.
Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Cho các đa thức này:
a) x3–2×2 + x.
b) 2×2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy–x2–y2 + 16
* Trả lời bài 51 trang 24 SGK toán 8 tập 1:
a) x3 – 2×2 + x
= x.x2 – x.2x + x.1
= x(x2 – 2x + 1)
= x(x – 1)2
b) 2×2 + 4x + 2 – 2y2
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)
= 2
= 2
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy–x2–y2 + 16
= 16 – (x2 – 2xy + y2)
= 42 – (x – y)2
=
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
* Trả lời bài 52 trang 24 SGK toán 8 tập 1:
– Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)
– Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
Xem thêm: Zenly có nghĩa là gì Mã Zenly, tôi không có Zenly
Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 và n ∈ Ζ
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Cho các đa thức này:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý: Ta không thể dùng ngay các phương pháp đã học để phân tích mà nếu tách các từ – 3x = – x – 2x ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng để phân tích thêm.
Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6 nên ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, vừa dễ phân tích lại)
