Với cách giải bài toán liên quan đến giới hạn trong môn Đại số và Giải tích lớp 11 bao gồm các bước giải, bài tập có đáp án và bài tập, các em học sinh sẽ biết cách làm bài. công việc. Hãy kiểm tra:
Giới hạn hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11
1. Giáo lý
a) Phạm vi công việc mỗi điểm:
* Giới hạn tối thiểu: Cho một khoảng K với điểm x0 . Ta nói rằng một hàm f(x) xác định trên K (có lẽ không bao gồm điểm x0) có giới hạn là L khi x tiến dần đến x0 nếu, với bất kỳ dãy (xn), xn∈K\x0 và xn→x0, ta nói: f(xn )→L
Lưu ý: limx→x0f(x)=L hoặc f(x)→Lkhi x→x0.
Bạn thấy: Giảm hoạt động
Nhận xét: Nếu f(x) là một hàm sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.
* Giới hạn đến vô cùng:
Hàm số y = f(x) có giới hạn dần đến dương vô cùng khi x tiến dần đến x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0 thì f(xn)→+∞.
Biểu tượng:.
Hàm y = f(x) có giới hạn ở vô cùng khi x tiến dần đến x0 nếu với mọi số nguyên (xn):xn→x0 thì f(xn)→−∞.
Ký hiệu: limx→x0f(x)=−∞.
b) Giới hạn của hàm số tại vô cực
* Giới hạn cuối cùng:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn L khi x→+∞ nếu với mọi phương (xn):xn>a và xn→+∞ thì f( xn ) → L .
Ký hiệu: limx→+∞f(x)=L.
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn L khi x→−∞ nếu với mọi dãy số (xn):xnb và xn→−∞ thì f(xn ) → L .
Ký hiệu: limx→−∞f(x)=L.
* Giới hạn đến vô cùng:
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn dần đến dương vô cực (hoặc âm vô cực) khi x→+∞nếu với mọi phương (xn):xn > a và xn → +∞ thì f(xn)→+∞ (hoặc f(xn)→−∞).
Ký hiệu: limx→+∞f(x)=+∞ (hoặc limx→+∞f(x)=-∞).
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn dần đến vô cùng (hay vô cực) là x → -∞ nếu với mọi dãy (xn):xnb và xn→ −∞ thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).
Ký hiệu: limx→-∞f(x)=+∞ (hoặc limx→-∞f(x)=−∞).
c) Hạn chế đặc biệt:
d) Vài ý kiến về ranh giới
Hãy cẩn thận:
– Định lý về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0 bằng x→+∞ hoặc x→-∞.
– Định lý trên chỉ áp dụng cho hàm số có giới hạn là hữu hạn. Chúng tôi không áp dụng nó cho giới hạn vô cùng nhỏ.
* điểm kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K tại điểm x0 (có lẽ các hàm số không xác định trên x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x) ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L thì .
e) Định luật vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của thừa số f(x)g(x)
Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)
f) Giới hạn một bên
* Giới hạn cuối cùng
– Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định tại các khoảng x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn riêng là một số thực L khi nó tiến dần đến x0 (hoặc tại một điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) tồn tại các số nằm trong khoảng (x0; b) trong đó lim xn = x0 ta đều có lim f(xn ) = L.
Khi đó ta viết: limx→x0+fx=L hoặc fx→Lkhi x→x0+.
– Ý nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên miền a;x0,x0∈ℝ. Ta nói hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy (xn) số thuộc khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 thì ta đều bằng nhau . có lim f(xn) = L .
Khi đó ta viết: limx→x0−fx=L hoặc fx→Lkhi x→x0−.
Bình luận:
limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L
Việc rút gọn các giả định chức năng vẫn còn khi chúng ta thay thế x→x0 bằng x→x0− hoặc x→x0+.
* Giới hạn không giới hạn
– Các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞ và limx→x0+fx=−∞ được phát biểu tương tự định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
– Nhận xét: Giới hạn lí thuyết của hàm số vẫn đúng nếu thay L một lượng +∞ hoặc -∞
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Giới hạn tại một điểm
Giải pháp:
– Nếu f(x) là hàm sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0
– Đặt giới hạn cho lệnh không giới hạn:
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Ví dụ 2: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Dạng 2: Giới hạn ở vô cực
Giải pháp:
– Ghi lũy thừa với số mũ lớn nhất
– Sử dụng quy tắc ngón tay cái
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn này:
a) limx→+∞(7×5+5×2−x+7)
b) limx→−∞4×5−3×3+x+1
Trả lời
Ví dụ 2: Tính các giới hạn này:
a) limx→+∞x6+5x−1
b) limx→−∞2×2+1+x
Trả lời
Dạng 3: Sử dụng nguyên lý giới hạn
điểm kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K tại điểm x0 (có lẽ các hàm số không xác định trên x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x) ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L thì limx→x0f(x)=L.
Giải pháp:
Xét giao điểm của hàm f(x) với hai hàm g(x) và h(x) sao cho limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L
Lưu ý các giới hạn của hàm lượng giác:
−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm này:
a) limx→0x2cos2nx
b) limx→−∞cos5x2x
Trả lời
Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x
Trả lời
Mẫu 4: Mẫu không giới hạn 00
Xác định dạng ẩn số 00: Tính limx→x0f(x)g(x) trong đó f(x0) = g(x0) = 0.
Giải pháp:
Để loại bỏ hàm chưa biết này, ta phân tích f(x) và g(x) sao cho nhân tử chung là (x – x0)
Khuyến nghị: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).
* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).
Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), nếu giới hạn có dạng 00 thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý: Nếu lượng giác bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm có căn thì ta nhân liên hợp để quy chúng về đa thức rồi phân tích đa thức như trên.
Sự bành trướng:
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm có nghiệm không bằng nhau thì ta dùng phương pháp tách, ví dụ:
Nếu u(x)n,v(x)m→c, ta phân tích:
u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn này:
a) limx→1×3−3×2+2×2−4x+3
b) limx→22×2−5x+2×3−8
Trả lời
a) limx→1×3−3×2+2×2−4x+3
=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1×2−2x−2x−3=32
b) limx→22×2−5x+2×3−8
=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1×2+2x+4=14
Ví dụ 2: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Dạng 5: Ranh giới dạng ẩn số∞∞
Nhận dạng các mẫu không xác định∞∞
limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞
limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞
Giải pháp:
– Chia tử số và mẫu số cho xn trong đó n là phần lớn nhất của biến ở mẫu số (Hoặc phân tích thành nhân tử với xn rồi rút gọn).
– Nếu u(x) hoặc v(x) có một biến là x trong dấu lớn hơn, hãy lấy xk ra khỏi dấu lớn hơn (với k là số mũ trên của x trong dấu lớn hơn), sau đó chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x.
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Ví dụ 2: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Dạng 6: Giới hạn của ẩn số dạng ∞−∞ đến 0.∞
Giải pháp:
– Nếu biểu thức có biến dưới dấu chính thì nhân, chia biểu thức liên hợp
– Nếu văn bản có nhiều phần, hãy giảm số và trả về cùng một văn bản
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Ví dụ 2: Tính các giới hạn này:
a) limx→01x−1×2
b) limx→ 01x1x+1−1
Trả lời
Dạng 7: Tính giới hạn một phía
Giải pháp:
Sử dụng lệnh giới hạn đến không giới hạn
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn này:
Trả lời
Ví dụ 2: Cho hàm số fx=x2+11−x trong đó x12x−2 trong đó x≥1. Đọc:
a) limx→1+fx
b) limx→1−fx
Trả lời
a) limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0
b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vì limx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1− ⇒x1 ⇒1−x> 0
Dạng 8: Tìm dấu của m để hàm số có giới hạn trên khoảng cho trước
Giải pháp:
Sử dụng nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L
– Tính giới hạn limx→x0−fx; limx→x0+fx
– Để hàm số có giới hạn tại x = x0 thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm m.
Khi đó với m giá trị vừa tìm được thì hàm số có giới hạn tại x = x0 và giới hạn đó bằng L=limx→x0−fx= limx→x0+fx
Hình ảnh:
Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x2−3x+2x−2 x>2a x≤2. Giá trị cận biên của hàm đã cho tại x = 2 là bao nhiêu?
Trả lời
Chúng ta có
limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1
limx→2−fx=a.
Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.
a=1
Vậy =1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị tuyệt đối của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7×2+2at x>1 để hàm số tồn tại limx→1fx.
Trả lời
Ta có limx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7×2+2=−2
Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.
⇒m−3=−2⇔m=1
M=1.
3. Hoạt động thể chất
Câu hỏi 1. Tính limx→1−−3x−1x−1 bằng cách sử dụng:
MỘT. – đầu tiên
b. -∞
C.∞
Đ. -3
Mục 2. Tính limx→+∞2×2−13−x2 bằng cách sử dụng:
MỘT. -2
B.13
C.23
Đ. 2
Mục 3. Tính limx→2×3−8×2−4 bằng cách sử dụng:
MỘT. 3
b. Đầu tiên
C. 4
Đ. 2
Phần 4. Tính limx→−4×2+3x−4×2+4x bằng cách sử dụng:
MỘT. – đầu tiên
b. 54
C. Đầu tiên
D.-54
Câu 5. Tính limx→1×3−1x−1 bằng cách:
MỘT. 13
b. Đầu tiên
C. mười hai
Đ. 2
Mục 6. Tính limx→0x3+1−1×2+x tương đương với:
MỘT. 4
b. 3
C. 0
Đ. Đầu tiên
Mục 7. Tính phương trình limx→−∞4×2−x+1x+1
MỘT. -2
b. Đầu tiên
C. 2
Đ. – đầu tiên
Mục 8. Tính phương trình limx→+∞x+5−x−7
A.-∞
B.+∞
C. 0
Đ. 4
Mục 9. Tính limx→−∞−2×5+x4−33×2−7 là:
MỘT. 0
b. +∞
C. -2
D.-∞
Mục 10. Tínhmx→+∞x2−4x−x
MỘT. -2
b. -∞
C. 0
D.+∞
Mục 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của một:
MỘT. 6
b. mười
C. – mười
Đ. -6
Mục 12. Kết quả đúng cho limx→1×3−1×4−1 bằng:
MỘT. 34
b. 4
C. 43
Đ. 3
Mục 13. Những câu nào đúng?
MỘT. limx→−∞x4−x1−2x=0
b. limx→−∞x4−x1−2x=+∞
C. limx→−∞x4−x1−2x=1
Đ. limx→−∞x4−x1−2x=−∞
Mục 14. Cho fx=4−x2 −2≤x≤2×2−4x−2 x>2. Tính limx→−2+fx.
MỘT. 0
b. 4
C.∞
Đ.
Xem thêm: 455+ Bức Ảnh Về Cuộc Sống Mà Bạn Nên Chụp Tim, 45 Bức Ảnh Có Lợi Nhất Cho Cuộc Sống Của Bạn
Nó không tồn tại
Mục 15. Tìm giá trị chính xác của tham số m để hàm số fx=x+m có x0x2+1 khi x≥0 có giới hạn tại x = 0.
